حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2} e^{- y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (3 x^{- 2} e^{- y})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

خطوة 1.2.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $e^{- y}$ من $x^{- 2} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2.5

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2

اضرب $- y \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{y} + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$e^{y} = - \frac{3}{x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

خطوة 3.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (- \frac{3}{x} + K)$