حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = \cos (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = \cos (x)$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = \cos (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \cot (x) d x}$

خطوة 2.2

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (\sin (x))}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sin (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cos (x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\sin (x) (\cot (x) y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

خطوة 3.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x) \cos (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x) \cos (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) \cos (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sin (x) y = \int \sin (x) \cos (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 7.1.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\sin (x) y = \int u d u$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ على $\sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ على $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $\sin^{2} (x)$ و $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\frac{1}{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin (x)}{1} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{2} \sin (x)$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.3

افصِل الكسور.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.4

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \csc (x)$

خطوة 8.3.1.5

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + C \csc (x)$