حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2} + x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{3}{x^{2} + x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{3}{x^{2} + x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2} + x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2} + x} d x$

خطوة 2.3.2

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x}$

خطوة 2.3.2.1.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

خطوة 2.3.2.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (x + 1)}$

خطوة 2.3.2.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.6.1.2

اقسِم $A (x + 1)$ على $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.6.3

اضرب $A$ في $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.1.6.4.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

خطوة 2.3.2.1.7

انقُل $A$ .

$1 = A x + B x + A$

خطوة 2.3.2.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.3.2.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 2.3.2.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

خطوة 2.3.2.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.2.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

خطوة 2.3.2.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

خطوة 2.3.2.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

خطوة 2.3.2.3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

خطوة 2.3.2.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - 1 A = 1$

خطوة 2.3.2.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - 1, A = 1$

خطوة 2.3.2.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

خطوة 2.3.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = 3 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 2.3.6

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.6.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$y + C_{1} = 3 \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

خطوة 2.3.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$y + C_{1} = 3 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = 3 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$