حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x^{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x^{2}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$