حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x}{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{3 y - 4 x}{x}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 1.1.2

اطرح $\frac{3 y}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 3 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 3}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{3}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{3}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $\frac{3 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 3.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 3.2.4.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 3.3

اجمع.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x}$

خطوة 3.4

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x^{1}}$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3 + 1}}$

خطوة 3.4.2

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{4}}$

خطوة 3.5

اضرب $- 4 x$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4 x}{x^{4}}$

خطوة 3.6

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x^{4}}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4}{x^{3}}$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{4}{x^{3}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = - \frac{4}{x^{3}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{3}} y = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

خطوة 7.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{3}} y = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

خطوة 7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 7.3.2

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 7.3.3

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 7.3.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{- 3} d x$

خطوة 7.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

خطوة 7.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

خطوة 7.5.1.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

خطوة 7.5.2

بسّط.

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

خطوة 7.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

خطوة 7.5.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{4}{2 x^{2}} + C$

خطوة 7.5.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

خطوة 7.5.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

خطوة 7.5.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

خطوة 7.5.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2}{x^{2}} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اطرح $\frac{2}{x^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} = C$

خطوة 8.1.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

خطوة 8.1.3

اجمع $\frac{1}{x^{3}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

خطوة 8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $\frac{2}{x^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x^{3}} - C = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 8.2.2

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{2}{x^{2}} x^{3} + C x^{3}$

خطوة 8.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

خطوة 8.4.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

خطوة 8.4.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 x + C x^{3}$

خطوة 8.4.2.1.3

أعِد ترتيب $2 x$ و $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} + 2 x$