حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

خطوة 1

افترض أن جميع الحلول من صيغة $y = e^{r x}$ .

خطوة 2

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

خطوة 2.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

خطوة 2.4

احذِف الأقواس.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

خطوة 2.5

أخرِج عامل $e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

خطوة 2.5.2

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $- 2 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

خطوة 2.5.3

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

خطوة 2.5.4

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $- 3 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

خطوة 2.5.5

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

خطوة 2.6

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

خطوة 3.2

اطرح $5$ من $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

خطوة 3.3

حلّل $r^{2} - 2 r - 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 8$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 4, 2$

خطوة 3.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

خطوة 3.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $r - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $r - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r - 4 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$r = 4$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $r + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $r + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r + 2 = 0$

خطوة 3.6.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$r = - 2$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(r - 4) (r + 2) = 0$ صحيحة.

$r = 4, - 2$

خطوة 4

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

خطوة 5

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$