حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 1.1.3.2

اجمع.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3} x}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} (x)}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

خطوة 1.4.3

اضرب $1$ في $1$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

خطوة 3.3

بسّط $4 \ln (| x |)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

خطوة 3.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

خطوة 3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

خطوة 3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

خطوة 3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$