حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + y^{2}) d x + (2 x y + \cos (y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 x y + \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + \cos (y)]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y + \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $\cos (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $2 y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 y = 2 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + y^{2} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int y^{2} d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C$

خطوة 5.4

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + g (y)] = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8.2.2

بما أن $\frac{1}{3} x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{2} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أضف $0$ و $2 x y$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y + \cos (y)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + \cos (y) - 2 x y$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x y + \cos (y) - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $2 x y$ من $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + \cos (y)$

خطوة 9.1.2.2

أضف $0$ و $\cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (y)$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $\cos (y)$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \cos (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \cos (y) d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \cos (y) d y$

خطوة 10.3

تكامل $\cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\sin (y)$ .

$g (y) = \sin (y) + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + \sin (y) + C$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + \sin (y) + C$