حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(e^{y} + 6 x) d x + x e^{y} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = e^{y} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{y} + 6 x]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{y} + 6 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y} + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $6 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y} + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $e^{y}$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

خطوة 2.2

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $e^{y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $e^{y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$e^{y} = e^{y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$e^{y} = e^{y}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x e^{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y$

خطوة 5.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C)$

خطوة 5.3

بسّط.

$f (x, y) = x e^{y} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{y} + 6 x$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + g (x)] = e^{y} + 6 x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{y} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{y} + 6 x$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{y} + 6 x$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{y} + 6 x$

خطوة 8.3.3

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{y} + 6 x$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + \frac{d g}{d x} = e^{y} + 6 x$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = e^{y} + 6 x$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + 6 x - e^{y}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{y} + 6 x - e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $e^{y}$ من $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $6 x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

خطوة 10.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$g (x) = 6 \int x d x$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + 3 x^{2} + C$