حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = e^{x^{2}}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 2 x d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $- 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$e^{- 2 \int x d x}$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x^{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب $e^{- x^{2}}$ في $e^{x^{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2} + x^{2}}$

خطوة 2.3.2

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{0}$

خطوة 2.4

بسّط $e^{0}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 1$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 1$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x^{2}} y = \int d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x^{2}} y = x + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{- x^{2}} y = x + C$ على $e^{- x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{- x^{2}} y = x + C$ على $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$