حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3}$ , $s (1) = 9$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $20$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 20 \int t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 5 t^{2} - 3$ . إذن $d u = 10 t d t$ ، لذا $\frac{1}{10} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 5 t^{2} - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $5 t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 3]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 t^{2} - 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $2$ في $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$10 t + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $10 t$ و $0$ .

$10 t$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$s + C_{1} = 20 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 20 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{10}$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 20 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{10}$ و $20$ .

$s + C_{1} = \frac{20}{10} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $10$ من $20$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $10$ من $10$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 (1)} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 1} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 t^{2} - 3$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $t$ وبـ $9$ عن $s$ في $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ .

$9 = \frac{1}{2} {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 9$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 9$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1 - 3)}^{4} + K = 9$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + K = 9$

خطوة 4.2.2

اطرح $3$ من $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 9$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 9$

خطوة 4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 9$

خطوة 4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$2^{3} + K = 9$

خطوة 4.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 + K = 9$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$K = 9 - 8$

خطوة 4.3.2

اطرح $8$ من $9$ .

$K = 1$

خطوة 5

عوّض بـ $1$ عن $K$ في $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + 1$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$s = \frac{1}{2} ({(5 t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (5^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.2

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.3

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{2 \cdot 4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.4

طبّق قاعدة الضرب على $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (5^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.5

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.6

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{6}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.7

اضرب $125$ في $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 500 t^{6} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.8

اضرب $- 3$ في $500$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.9

طبّق قاعدة الضرب على $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (5^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.10

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.11

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.11.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{2 \cdot 2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{4}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.12

اضرب $25$ في $6$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.13

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} \cdot 9 + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.14

اضرب $9$ في $150$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.15

اضرب $5$ في $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.16

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.17

اضرب $- 27$ في $20$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + {(- 3)}^{4}) + 1$

خطوة 5.2.2.18

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + 81) + 1$

خطوة 5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اضرب $\frac{1}{2} (625 t^{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

اجمع $625$ و $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{625}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.1.2

اجمع $\frac{625}{2}$ و $t^{8}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 1500 t^{6}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $1350 t^{4}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 540 t^{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

خطوة 5.2.4.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $81$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 1$

خطوة 5.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 2}{2}$

خطوة 5.5

أضف $81$ و $2$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{83}{2}$