حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$8 y d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 8 y d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int y d y = \int x d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ على $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.3.1.3

اجمع.

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.3.1.4

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.3.1.5

اضرب $2$ في $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

خطوة 3.3

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لكتابة $\frac{K}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 3.3.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $\frac{K}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

خطوة 3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

خطوة 3.3.4

انقُل $2$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

خطوة 3.3.5

أعِد كتابة $\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $x^{2} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

خطوة 3.3.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.3.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

خطوة 3.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

خطوة 3.3.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.3.8

اجمع.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 3.3.9

اضرب $\sqrt{x^{2} + 2 K}$ في $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 3.3.10

اضرب $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.3.11

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.1

اضرب $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 3.3.11.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 3.3.11.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

خطوة 3.3.11.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

خطوة 3.3.11.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.3.11.6

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 3.3.11.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.3.11.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.3.11.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.3.11.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.3.11.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

خطوة 3.3.11.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.12

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.13.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

خطوة 3.3.13.2

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$