حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + y = x$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int x d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.5

اقسِم $\frac{1}{2} x$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$