حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 9$ و $y (5) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (4 x - 9) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 4 x - 9 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 4 x - 9 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int - 9 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int - 9 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 9 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 2 x^{2} - 9 x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $5$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = 2 x^{2} - 9 x + K$ .

$0 = 2 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$ .

$2 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط $2 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$2 \cdot 25 - 9 \cdot 5 + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $25$ .

$50 - 9 \cdot 5 + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 9$ في $5$ .

$50 - 45 + K = 0$

خطوة 4.2.2

اطرح $45$ من $50$ .

$5 + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$K = - 5$

خطوة 5

عوّض بـ $- 5$ عن $K$ في $y = 2 x^{2} - 9 x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 5$ .

$y = 2 x^{2} - 9 x - 5$