حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{3}{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ بالصيغة $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $3$ في $4$ .

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $8$ عن $y$ في $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ .

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$12 \cdot 1 + K = 8$

خطوة 4.2.2

اضرب $12$ في $1$ .

$12 + K = 8$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$K = 8 - 12$

خطوة 4.3.2

اطرح $12$ من $8$ .

$K = - 4$

خطوة 5

عوّض بـ $- 4$ عن $K$ في $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 4$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$