حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x}{y} d x - \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $\frac{2 x}{y} d x$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = - \frac{2 x}{y} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} (- \frac{x^{2}}{y^{2}}) d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) d x$

خطوة 3.6.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

خطوة 3.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

خطوة 3.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} \cdot 2 d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{- 1}{x}$ و $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1 \cdot 2}{x} d x$

خطوة 3.8

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

خطوة 3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

خطوة 5.2.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$- \ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

خطوة 5.3

اطرح $\ln (x^{2})$ من كلا المتعادلين.

$- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.2.2

اقسِم $\ln (| y |)$ على $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (x^{2})}{1}$

خطوة 5.4.3.1.4

اقسِم $\ln (x^{2})$ على $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (x^{2})$

خطوة 5.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = - C$

خطوة 5.6

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$

خطوة 5.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{- C}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

خطوة 5.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$

خطوة 5.9.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

خطوة 5.9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

خطوة 5.9.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{- C} x^{2}$

خطوة 5.9.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{- C}$

خطوة 5.9.4

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{- C}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm x^{2} C$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C x^{2}$