حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x + y) d x - x d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 = - 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

خطوة 4.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2}{- x}$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(2 x + y) d x - x d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x + y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(2 x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $2 x + y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $- x$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{2 x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

خطوة 8.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{y}{x} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.5.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{2 x + y}{x^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{2 x + y}{x^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{2 x + y}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (2 x + y)}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (2 x) - y}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - 2 x - y}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $y - 2 x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x + 0}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 2}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2}{x} = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $\frac{2}{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2}{x}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{2}{x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{2}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 13.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (x) = 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 13.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$g (x) = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 13.5

بسّط.

$g (x) = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \ln ({| x |}^{2}) + C$

خطوة 15.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \ln (x^{2}) + C$