حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3 x}{y})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3 x}{y}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3 x}{y}$

خطوة 1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3 x}{y}$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = - (3 x)$

خطوة 1.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y \frac{d y}{d x} = - 3 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = - 3 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - 3 x d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 3 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $- 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $- 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{3}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{3 x^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3 x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = - 3 x^{2} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + K}$