حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x)$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (x)}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int x \sin (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

خطوة 7.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

خطوة 7.3.2

اضرب $\int \cos (x) d x$ في $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

خطوة 7.4

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

خطوة 7.5

أعِد كتابة $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ بالصيغة $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.2

اقسِم $- \cos (x)$ على $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$