حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 2 y - 4 x$

خطوة 1

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = - 4 x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 2 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- 2 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- 2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (- 4 x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (- 4 x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = - 4 x e^{- 2 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = - 4 x e^{- 2 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- 2 x} y = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$e^{- 2 x} y = - 4 \int x e^{- 2 x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

خطوة 7.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

خطوة 7.3.3

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

خطوة 7.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

خطوة 7.5.2

اضرب $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ في $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

خطوة 7.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

خطوة 7.7

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 7.7.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 7.7.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 7.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

خطوة 7.8.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 7.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

خطوة 7.10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

خطوة 7.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

خطوة 7.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.13.1

أعِد كتابة $- 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ بالصيغة $- 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 7.13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.13.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 7.13.2.2

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 7.13.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

خطوة 7.14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.15.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.15.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ إلى بسط الكسر.

$e^{- 2 x} y = - 4 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.15.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (- 2) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.15.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- 2 x} y = 2 \cdot - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.15.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 2 x} y = - 2 (- e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.15.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.15.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.15.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

خطوة 7.15.4.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

خطوة 7.15.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

خطوة 7.15.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - - e^{- 2 x} + C$

خطوة 7.15.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 1 e^{- 2 x} + C$

خطوة 7.15.6

اضرب $e^{- 2 x}$ في $1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + e^{- 2 x} + C$

خطوة 7.15.7

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ على $e^{- 2 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ على $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{e^{- 2 x}}$