حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 1 = x + y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} + 1 - y = x$

خطوة 1.1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2.5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.2.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

خطوة 3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

خطوة 3.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 3.3.4

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \cdot x}$

خطوة 3.3.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x}$

خطوة 3.3.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

خطوة 3.3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1 + 1}}$

خطوة 3.3.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 7.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 7.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 7.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 7.4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 7.4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

خطوة 7.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

بسّط.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

خطوة 7.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

خطوة 7.6.2.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اطرح $\ln (| x |)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) = \frac{1}{x} + C$

خطوة 8.1.2

اطرح $\frac{1}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} = C$

خطوة 8.1.3

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

خطوة 8.1.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{y}{x} - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

خطوة 8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $\ln (| x |)$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x} - \frac{1}{x} - C = \ln (| x |)$

خطوة 8.2.2

أضف $\frac{1}{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x} - C = \ln (| x |) + \frac{1}{x}$

خطوة 8.2.3

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

خطوة 8.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

خطوة 8.4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \ln (| x |) x + 1 + C x$

خطوة 8.4.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| x |) x + 1 + C x$ .

$y = x \ln (| x |) + 1 + C x$

خطوة 8.4.2.1.3.2

انقُل $1$ .

$y = x \ln (| x |) + C x + 1$

خطوة 8.4.2.1.3.3

أعِد ترتيب $x \ln (| x |)$ و $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |) + 1$