حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(4 x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 4 x^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2} - y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} - y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $4 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

خطوة 1.4

اطرح $2 y$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.2

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 y = - y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- y$ .

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x y$ .

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y - - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- - y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot - 2 + y (- - 1)$ .

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

خطوة 4.3.2.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{- x}$

خطوة 4.3.4

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | x | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(4 x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $4 x^{2} - y^{2}$ في $x$ .

$(4 x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل $x$ .

$(4 (x \cdot x^{2}) - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

خطوة 6.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 (x^{1} x^{2}) - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

خطوة 6.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{1 + 2} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

خطوة 6.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $- x y$ في $x$ .

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

انقُل $x$ .

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

خطوة 6.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - x^{2} y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $y^{2}$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

خطوة 8.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

خطوة 8.3.3.2

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

خطوة 8.3.3.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.3

بما أن $- \frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.6

اجمع $- 2$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.7

اجمع $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.3.8.2.4

اقسِم $- y^{2} x$ على $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = 4 x^{3} - y^{2} x$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أضف $y^{2} x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أضف $- y^{2} x$ و $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $4 x^{3}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

خطوة 13.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

خطوة 13.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

خطوة 13.5.2.3

اضرب $x^{4}$ في $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + x^{4} + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + x^{4} + C$

خطوة 15.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x^{4} + C$