حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{3} + x y^{2} - y) d x + (y^{3} + x^{2} y - x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{3} + x y^{2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + x y^{2} - y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + x y^{2} - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - 1 \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - 1$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y^{3} + x^{2} y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y - x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + x^{2} y - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.2

بما أن $y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - 1 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - 1$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $0$ و $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 1$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x y - 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x y - 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 2 x y - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x y - 1 = 2 x y - 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + x y^{2} - y d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x^{3} + x y^{2} - y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x + \int - y d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x y^{2} d x + \int - y d x$

خطوة 5.3

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} \int x d x + \int - y d x$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

خطوة 5.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

خطوة 5.7

بسّط.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + C$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.2.2

بما أن $\frac{1}{4} x^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{4} x^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.3.3

بما أن $\frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.3.5

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.3.6

اجمع $\frac{2 x^{2}}{2}$ و $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.3.7.2

اقسِم $x^{2} y$ على $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x^{2} y - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + x^{2} y - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + x^{2} y - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y - x + \frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

أضف $0$ و $x^{2} y$ .

$x^{2} y - x + \frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 8.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y - x = y^{3} + x^{2} y - x$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - x = y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y$

خطوة 9.1.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y + x$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اطرح $x^{2} y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} - x + 0 + x$

خطوة 9.1.3.2

أضف $y^{3} - x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} - x + x$

خطوة 9.1.3.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

خطوة 9.1.3.4

أضف $y^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $y^{3}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 12.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + \frac{y^{4}}{4} + C$