حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1^{2}}$

خطوة 1.2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 1.2.2

اضرب $y^{2} - 1$ في $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 1.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 1.2.3.2

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

خطوة 1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

خطوة 1.2.5.2

اقسِم $x^{2} + 1$ على $1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(y^{2} - 1) d y = (x^{2} + 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$