حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 \int \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

خطوة 2.3.5

بما أن مشتق $- \cot (x)$ هو $\csc^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (x)$ هو $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- \cot (x) + C_{3}) + \int x d x$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- \cot (x) + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + C$