حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{2}{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

خطوة 2.4

بما أن $\frac{2}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{2}{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$1 = 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

خطوة 8.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + \frac{2}{y} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $\frac{2}{y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{2}{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

خطوة 10.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 10.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 10.5

بسّط.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

خطوة 12.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$