حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $(x + 1) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

خطوة 1.7

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.8

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.9

اضرب $y$ في $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

خطوة 5.4

بسّط.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ على $x + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ على $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.1.3

اضرب $\frac{x^{3}}{3}$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.2

لكتابة $- \frac{x}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3 (x + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب $\frac{x}{x + 1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - x \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.5.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.5.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.5.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.6

لكتابة $\frac{C}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 6.3.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3 (x + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.1

اضرب $\frac{C}{x + 1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

خطوة 6.3.7.2

أعِد ترتيب عوامل $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

خطوة 6.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

خطوة 6.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

خطوة 6.3.9.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.9.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.9.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

خطوة 6.3.9.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

خطوة 6.3.9.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

خطوة 6.3.9.3

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

خطوة 6.3.9.4

انقُل $3$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$