حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 2 y} \cos (x)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1 - 2 y}{y}$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} (\frac{y}{1 - 2 y} \cos (x))$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\frac{y}{1 - 2 y}$ و $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1 - 2 y}{y} d y = \cos (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 - 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.3.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\ln (| y |) - 2 y + C_{3} = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- 2 y + \ln (| y |) = \sin (x) + C$