حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $\cos (x) \sin (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\cos (x) \sin (x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

خطوة 1.4

اطرح $2 x y$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

خطوة 2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $y (1 - x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

خطوة 2.8.2

أعِد ترتيب عوامل $y (- 2 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 x y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 x y = - 2 x y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $1 - x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $1 - x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.2

بما أن $\frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.8

اطرح $2 x$ من $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.9

اجمع $- 2$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.10

اجمع $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.3.11.2.4

اقسِم $- y^{2} x$ على $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $y^{2} x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- x y^{2}$ و $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

خطوة 9.1.2.2

أضف $- y^{2} x$ و $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

خطوة 9.1.2.3

أضف $\cos (x) \sin (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $\cos (x) \sin (x)$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 10.3

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 10.3.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 10.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (x) = \int - u d u$

خطوة 10.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int u d u$

خطوة 10.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 10.6

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 10.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 12.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 12.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 12.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 12.6

اجمع $y^{2}$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 12.7

اجمع $\cos^{2} (x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$