حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x^{2}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{x^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{3}{x} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{x} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- \frac{3}{x} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- \frac{3}{x}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{3}{x}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- \frac{3}{x}}$