حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \frac{2 y}{t^{3}} d t + \frac{1}{t^{2}} d y = 0$

خطوة 1

أضف $\frac{2 y}{t^{3}} d t$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{t^{2}} d y = \frac{2 y}{t^{3}} d t$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{t^{2}}{y}$ .

$\frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{1}{t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

خطوة 3.3

اجمع.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{y t^{3}} d t$

خطوة 3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $t^{2}$ من $y t^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t} d t$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| t |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| t |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اضرب كلا الطرفين في $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

خطوة 5.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

خطوة 5.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} t^{2}$

خطوة 5.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} t^{2}$ .

$| y | = t^{2} e^{C}$

خطوة 5.5.4

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm t^{2} C$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C t^{2}$