حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

خطوة 1

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- 1}$

خطوة 3

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- 1}$

خطوة 4

خُذ مشتق $v^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ مشتق $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

اضرب $v$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{v'}{v^{2}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- 1}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 6.1.1.2

بسّط $- {(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

خطوة 6.1.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

خطوة 6.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

خطوة 6.1.1.3

أضف $\frac{1}{v}$ إلى كلا المتعادلين.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

خطوة 6.1.1.4

اقسِم كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.1

اقسِم كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.2.2

اقسِم $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ على $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.3.1.2

اقسِم $\frac{1}{v^{2}}$ على $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

خطوة 6.1.1.4.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{1}{v}$ بالصيغة $- \frac{1}{v}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

خطوة 6.1.1.5

اضرب كلا الطرفين في $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

خطوة 6.1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1

بسّط $(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{v}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2.1.3.2

أخرِج العامل $v$ من $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

خطوة 6.1.1.6.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

خطوة 6.1.1.6.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

خطوة 6.1.1.6.2.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1.4.1

أعِد كتابة $- 1 v$ بالصيغة $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

خطوة 6.1.1.6.2.1.4.2

أعِد ترتيب $1$ و $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{- v + 1}$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

خطوة 6.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

اضرب $\frac{1}{- v + 1}$ في $- v + 1$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

خطوة 6.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- v + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

خطوة 6.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

لنفترض أن $u = - v + 1$ . إذن $d u = - d v$ ، لذا $- d u = d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

افترض أن $u = - v + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 6.2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

خطوة 6.2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 6.2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 6.2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 6.2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 6.2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- v + 1$ .

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 6.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.2.2

اقسِم $\ln (| - v + 1 |)$ على $1$ .

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot x$ بالصيغة $- x$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

خطوة 6.3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

خطوة 6.3.2

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

خطوة 6.3.3

أعِد كتابة $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

خطوة 6.3.4

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ .

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

خطوة 6.3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

خطوة 6.3.4.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

خطوة 6.3.4.4

اقسِم كل حد في $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.4.1

اقسِم كل حد في $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.3.4.4.2.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.3.4.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ بالصيغة $- (\pm e^{- x - C})$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.3.4.4.3.1.3

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

خطوة 6.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $e^{- x + C}$ بالصيغة $e^{- x} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

خطوة 6.4.3

أعِد ترتيب $e^{- x}$ و $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

خطوة 6.4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = - (C e^{- x}) + 1$

خطوة 7

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$