حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$ على $4 x$ .

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

خطوة 1.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

خطوة 1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{4 x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x}{4}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3}{4} x$

خطوة 1.6

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- y}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{4 x} = \frac{3}{4} x$

خطوة 1.7

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 1}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{4 x} y = \frac{3}{4} x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 1}{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 1}{4 x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 1}{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\int - \frac{1}{4 x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{4 x} d x}$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{4}})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- \frac{1}{4}}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{1}{4 x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{y}{4 x}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x \cdot x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{4}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.5.2.2

اضرب $x^{\frac{1}{4}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.5.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.5.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1 + 4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.2.5.2.5

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} x$

خطوة 3.4

اجمع.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 \cdot 1}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

خطوة 3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ و $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 3.7

انقُل $x^{\frac{1}{4}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

خطوة 3.8

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{4}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

انقُل $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x)}{4}$

خطوة 3.8.2

اضرب $x^{- \frac{1}{4}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x^{1})}{4}$

خطوة 3.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + 1}}{4}$

خطوة 3.8.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}}}{4}$

خطوة 3.8.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{- 1 + 4}{4}}}{4}$

خطوة 3.8.5

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] d x = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $\frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \int x^{\frac{3}{4}} d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

خطوة 7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $\frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$ بالصيغة $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{4}{7}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 7.3.2.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 7.3.2.3

اضرب $4$ في $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 7.3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $28$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 (3)}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 7.3.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 7.3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 7.3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{3}{7}$ و $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}} + C x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4.2.1.2

اضرب $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

اجمع $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7}$ و $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}} x^{\frac{1}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4.2.1.2.2

اضرب $x^{\frac{7}{4}}$ في $x^{\frac{1}{4}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{7}{4}})}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{3 x^{\frac{1}{4} + \frac{7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4.2.1.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{3 x^{\frac{1 + 7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4.2.1.2.2.4

أضف $1$ و $7$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{8}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.4.2.1.2.2.5

اقسِم $8$ على $4$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$