حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{2} d x + x^{2} y d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x y^{2} d x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y d y = - x y^{2} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2} y$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} y (y)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2} y \cdot y} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{2} y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $x y^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x y^{2} (x)} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x y^{2} x} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

خطوة 5.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| y x |) = C$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (| y x |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

خطوة 5.6.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

خطوة 5.6.3

اقسِم كل حد في $y x = \pm e^{C}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اقسِم كل حد في $y x = \pm e^{C}$ على $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

خطوة 5.6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

خطوة 5.6.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{x}$