حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} = x + y$

خطوة 1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d x}{d y} - x = y$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (y) d y}$ ، حيث $P (y) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d y}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- y + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- y}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} y$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = y e^{- y}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = y e^{- y}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int y e^{- y} d y$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- y} x = \int y e^{- y} d y$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

خطوة 7.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

خطوة 7.3.2

اضرب $\int e^{- y} d y$ في $1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

خطوة 7.4

لنفترض أن $u = - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

افترض أن $u = - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 7.4.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 7.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

خطوة 7.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

خطوة 7.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

خطوة 7.7

أعِد كتابة $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ بالصيغة $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{u} + C$

خطوة 7.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ على $e^{- y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ على $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $- y$ على $1$ .

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$x = - y - 1 + \frac{C}{e^{- y}}$