حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - 4 (x + y^{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 4 (x + y^{6})]$

خطوة 2.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 (x + y^{6})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y^{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

خطوة 2.5

بما أن $y^{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + 0)$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \cdot 1$

خطوة 2.6.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 4$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 4$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 = - 4$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 4$ .

$\frac{- 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{- 4 - 1}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

$\frac{- 4 - 1}{y}$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من $- 4$ .

$\frac{- 5}{y}$

خطوة 4.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

$- \frac{5}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 5 \ln (| y |)$ بنقل $- 5$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y$ في $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y \frac{1}{y^{5}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{5}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $- 4 (x + y^{6})$ في $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y^{4}} d x + (- 4 x - 4 y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $- 4 x - 4 y^{6}$ في $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{- 4 x - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.6

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x - 4 y^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.6.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) + 4 (- y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.6.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (- y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - (y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.10

أعِد كتابة $- (x + y^{6})$ بالصيغة $- 1 (x + y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- 1 (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 6.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y^{4}} d x - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{4}} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{1}{y^{4}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} x + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{y^{4}}$ و $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}} + g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{y^{4}} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y^{4}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y^{4}}$ بالصيغة ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{- 1}$ و $g (y) = y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y^{4}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{4}$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.5

اضرب الأُسس في ${(y^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$x (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$x (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.7

اضرب $y^{- 8}$ في $y^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.1

انقُل $y^{3}$ .

$x (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.3.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.5.2.3

اجمع $x$ و $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.5.2.4

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

أضف $\frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 x + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

أضف $0$ و $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

خطوة 12.1.1.6

احذِف العامل المشترك لـ $y^{6}$ و $y^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.1

أخرِج العامل $y^{5}$ من $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5}} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y}{1} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2.4

اقسِم $4 y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 4 y = 0$

خطوة 12.1.2

اطرح $4 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 4 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 4 y d y$

خطوة 13.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$g (y) = - 4 \int y d y$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 4}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = \frac{- 2}{1} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$g (y) = - 2 y^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} - 2 y^{2} + C$