حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ على $x^{2} y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ على $x^{2} y$ .

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

خطوة 1.1.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \cdot 1}{y x^{2}}$

خطوة 1.4.2

اجمع.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

خطوة 1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} (x^{2})}$

خطوة 1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} x^{2}}$

خطوة 1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(e^{y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $\int e^{- y} d y$ في $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5

لنفترض أن $u = - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

افترض أن $u = - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.2.5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.2.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.8

أعِد كتابة $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ بالصيغة $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.10

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C_{2}$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - \frac{1}{x} + K$