حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 7$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $2 u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 2.3.5

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\tan (t)$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

خطوة 5

بما أن $u$ يساوي قيمة سالبة في الشرط الابتدائي $(0, - 7)$ ، انظر فقط $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $0$ عن $t$ وبـ $- 7$ عن $u$ .

$- 7 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 7$ .

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 7$

خطوة 6.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ في صورة ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1.1

أضف $0$ و $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.1.2

أضف $0$ و $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.2.3

اضرب ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ في $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.2.4

اضرب الأُسس في ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.2.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$K^{1} = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

بسّط.

$K = {(- 7)}^{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$K = 49$

خطوة 7

عوّض بـ $49$ عن $K$ في $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $49$ .

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 49}$