حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$

خطوة 1

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- 1}$

خطوة 3

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- 1}$

خطوة 4

خُذ مشتق $v^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ مشتق $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

اضرب $v$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{v'}{v^{2}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- 1}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ في $- v^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ في $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $v^{2}$ من $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.5

اضرب $v^{- 1}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.5.1

انقُل $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.5.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.6

بسّط $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.8

اضرب $v$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

اضرب الأُسس في ${(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.3.2

اضرب $v^{- 2}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.2.1

انقُل $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

خطوة 6.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{2 - 2} \cdot - 1$

خطوة 6.1.3.2.3

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$

خطوة 6.1.3.3

بسّط $2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} \cdot - 1$

خطوة 6.1.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - 2 e^{x}$

خطوة 6.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C}$

خطوة 6.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 6.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كل حد في $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- 2 e^{x})$

خطوة 6.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x} e^{x}$

خطوة 6.3.3

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

انقُل $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 (e^{x} e^{x})$

خطوة 6.3.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x + x}$

خطوة 6.3.3.3

أضف $x$ و $x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$

خطوة 6.3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - 2 e^{2 x}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - 2 e^{2 x}$

خطوة 6.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - 2 e^{2 x} d x$

خطوة 6.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} v = \int - 2 e^{2 x} d x$

خطوة 6.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$e^{x} v = - 2 \int e^{2 x} d x$

خطوة 6.7.2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.7.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.7.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.7.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.7.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{x} v = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6.7.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 6.7.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{x} v = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 6.7.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 6.7.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

خطوة 6.7.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

خطوة 6.7.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{x} v = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

خطوة 6.7.5.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} d u$

خطوة 6.7.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{x} v = - (e^{u} + C)$

خطوة 6.7.7

بسّط.

$e^{x} v = - e^{u} + C$

خطوة 6.7.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{x} v = - e^{2 x} + C$

خطوة 6.8

اقسِم كل حد في $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اقسِم كل حد في $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ على $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ و $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$v = \frac{- e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.2.4

اقسِم $- e^{x}$ على $1$ .

$v = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$