حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $4 x y^{2} d x$ من كلا المتعادلين.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.3

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

خطوة 3.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

خطوة 3.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ و $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $- y^{- 1} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3.4

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 4.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.3.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 4.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y, 1, 1$

خطوة 5.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ في $y$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ في $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

خطوة 5.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف القيمة المطلقة في ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

خطوة 5.3.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y$ من $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

خطوة 5.4.2.2

أخرِج العامل $y$ من $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

خطوة 5.4.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة $- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ بالصيغة $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

خطوة 5.4.4

اقسِم كل حد في $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ على $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

اقسِم كل حد في $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ على $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

خطوة 5.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

خطوة 5.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

خطوة 5.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

خطوة 5.4.4.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

خطوة 5.4.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

خطوة 5.4.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

خطوة 5.4.4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.3.5.1

أعِد كتابة $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ بالصيغة $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

خطوة 5.4.4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

خطوة 5.4.4.3.5.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

خطوة 5.4.4.3.5.4

اضرب $\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ في $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$