حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d h}{d t} = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d h = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d h = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$h + C_{1} = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $17.6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $17.6$ خارج التكامل.

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 17.6 t^{2} + 1$ . إذن $d u = 35.2 t d t$ ، لذا $\frac{1}{35.2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 17.6 t^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $17.6 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2} + 1]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $17.6 t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $17.6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $17.6 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$17.6 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $2$ في $17.6$ .

$35.2 t + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$35.2 t + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $35.2 t$ و $0$ .

$35.2 t$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{35.2} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{35.2}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 35.2} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $35.2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{35.2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{35.2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{35.2}$ خارج التكامل.

$h + C_{1} = 17.6 (\frac{1}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 2.3.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{35.2}$ و $17.6$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $\frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$ .

$h + C_{1} = 0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $2$ في $0.5$ .

$h + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اضرب $u^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$h + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $17.6 t^{2} + 1$ .

$h + C_{1} = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$h = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$