حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ , $x (\frac{π}{4}) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

خطوة 1.2.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

خطوة 3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قوس الظل.

$x = \tan (4 t + K)$

خطوة 4

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $\frac{π}{4}$ عن $t$ وبـ $1$ عن $x$ في $x = \tan (4 t + K)$ .

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ .

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

خطوة 5.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $K$ من داخل المماس.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

خطوة 5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$π + K = \arctan (1)$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

خطوة 5.5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اطرح $π$ من كلا المتعادلين.

$K = \frac{π}{4} - π$

خطوة 5.5.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 5.5.3

اجمع $- π$ و $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

خطوة 5.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

خطوة 5.5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

خطوة 5.5.5.2

اطرح $4 π$ من $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

خطوة 5.5.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$K = - \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.6

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

خطوة 5.7

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 5.7.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 5.7.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 5.7.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 5.7.1.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

خطوة 5.7.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

اطرح $π$ من كلا المتعادلين.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

خطوة 5.7.2.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 5.7.2.3

اجمع $- π$ و $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

خطوة 5.7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

خطوة 5.7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.5.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

خطوة 5.7.2.5.2

اطرح $4 π$ من $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

خطوة 5.8

أوجِد فترة $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 5.8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 5.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 5.8.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 5.9

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اجمع $π$ مع $- \frac{3 π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{3 π}{4} + π$

خطوة 5.9.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.9.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.9.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

خطوة 5.9.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

خطوة 5.9.4.2

اطرح $3 π$ من $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

خطوة 5.9.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$K = \frac{π}{4}$

خطوة 5.10

فترة دالة $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.11

وحّد الإجابات.

$K = \frac{π}{4} + π n$

خطوة 6

عوّض بـ $\frac{π}{4} + π n$ عن $K$ في $x = \tan (4 t + K)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$