حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$ , $y (2) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

خطوة 1.1.1.2

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

خطوة 1.1.2

اطرح $4 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

خطوة 1.1.3.2

ارفع $\frac{d y}{d x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = x - 4 x y$

خطوة 1.1.3.4

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ على $x^{2} + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ على $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x - 4 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - 4 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - 4 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2.3

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 4 y)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 4 y)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 - 4 y}$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} (\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $1 - 4 y$ من $\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 - 4 y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 - 4 y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 1 - 4 y$ . إذن $d u_{1} = - 4 d y$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 1 - 4 y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 4 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 4 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$0 - 4$

خطوة 2.2.1.1.4

اطرح $4$ من $0$ .

$- 4$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $4$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 - 4 y$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} + 1$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |)) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| 1 - 4 y |)$ و $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}$ إلى بسط الكسر.

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| 1 - 4 y |)$ في $1$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 (- 2) \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 \cdot - 2 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2)$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + 2 C)$

خطوة 3.2.2.1.5

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 2 (2 C)$

خطوة 3.2.2.1.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 4 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = - 4 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

بسّط $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = - 4 C$

خطوة 3.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{- 4 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 C} = | 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ .

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$

خطوة 3.7.2

اقسِم كل حد في $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ على ${(x^{2} + 1)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اقسِم كل حد في $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ على ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.2.1.2

اقسِم $| 1 - 4 y |$ على $1$ .

$| 1 - 4 y | = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 - 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$

خطوة 3.7.5

اقسِم كل حد في $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1

اقسِم كل حد في $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 3.7.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 3.7.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 3.7.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.3.1.1

بسّط $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 3.7.5.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 3.7.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $2$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ .

$1 = \frac{C \frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في $4$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{C \frac{1}{{(4 + 1)}^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3.1.1.1.2

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{C \frac{1}{5^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3.1.1.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{C \frac{1}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3.1.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

اجمع $C$ و $\frac{1}{25}$ .

$\frac{\frac{C}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3.1.1.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{C}{25} + \frac{25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3.1.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{C + 25}{25} = 1 \cdot 4$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{C + 25}{25} = 4$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب كلا المتعادلين في $25$ .

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

خطوة 6.4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

خطوة 6.4.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$C + 25 = 25 \cdot 4$

خطوة 6.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

اضرب $25$ في $4$ .

$C + 25 = 100$

خطوة 6.4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

اطرح $25$ من كلا المتعادلين.

$C = 100 - 25$

خطوة 6.4.3.2

اطرح $25$ من $100$ .

$C = 75$

خطوة 7

عوّض بـ $75$ عن $C$ في $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $75$ .

$y = \frac{75 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

خطوة 7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $75$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

خطوة 7.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{75 + {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

أعِد كتابة ${(x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$y = \frac{\frac{75 + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.2

وسّع $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.3.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.3.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.2.4.4

أضف $75$ و $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

خطوة 7.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 7.4

اضرب $\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}$

خطوة 7.5

انقُل $4$ إلى يسار ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$