حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y + y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y + y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + y + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 2 y$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.4

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x + 2 y + 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y + 1 = 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x + 2 y + 1 = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x + 2 y + 1$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x + 2 y$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{x + 2 y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{x + 2 y + 0}{x + 2 y}$

خطوة 4.3.2.2

أضف $x + 2 y$ و $0$ .

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

خطوة 5.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$ في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x y + y + y^{2}$ في $e^{x}$ .

$(x y + y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x + 2 y$ في $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) e^{x} d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x}) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y$

خطوة 8.3

بما أن $2 e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 e^{x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.5

بسّط.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} e^{x} y^{2} + C$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = x e^{x} y + 1 e^{x} y^{2} + C$

خطوة 8.6.3

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x e^{x} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.3.5

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $e^{x} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 11.6.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x y e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

خطوة 12.1.2

اطرح $y e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

خطوة 12.1.3

اطرح $y^{2} e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

خطوة 12.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

اطرح $x y e^{x}$ من $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

خطوة 12.1.4.2

أضف $y e^{x} + y^{2} e^{x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

خطوة 12.1.4.3

اطرح $y e^{x}$ من $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

خطوة 12.1.4.4

أضف $y^{2} e^{x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

خطوة 12.1.4.5

اطرح $y^{2} e^{x}$ من $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 13.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 13.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} + C$