حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y - 1]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 1.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x - y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x - y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x = 2 x - y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x - y$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} - x y$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{x - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 x$ من $x$ .

$\frac{- x + y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x + y}{x \cdot x - x y}$

خطوة 4.3.3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x y$ .

$\frac{- x + y}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

خطوة 4.3.3.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{- x + y}{x (x - 1 y)}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{- x + y}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x + y$ و $x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) + y}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$\frac{- (x) - 1 (- y)}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x - y)}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (x - y)$ بالصيغة $- 1 (x - y)$ .

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{x}$

خطوة 4.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- \ln (| x |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x y - 1$ في $\frac{1}{x}$ .

$(x y - 1) \frac{1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x y - 1$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2} - x y$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x^{2} - x y$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x^{2} - x y}{x} d y = 0$

خطوة 6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x} d y = 0$

خطوة 6.5.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x y$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x} d y = 0$

خطوة 6.5.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x} d y = 0$

خطوة 6.5.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

خطوة 6.6.2

اقسِم $x - y$ على $1$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x - y) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x - y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x d y + \int - y d y$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x y + C + \int - y d y$

خطوة 8.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x y + C - \int y d y$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.5

بسّط.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11.4

بما أن $- \frac{1}{2} y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أضف $y$ و $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 11.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y - 1}{x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x} - y$

خطوة 12.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

قسّم الكسر $\frac{x y - 1}{x}$ إلى كسرين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

خطوة 12.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

خطوة 12.1.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{- 1}{x} - y$

خطوة 12.1.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d x} = y - \frac{1}{x} - y$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y - \frac{1}{x} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x} + 0$

خطوة 12.1.3.2

أضف $- \frac{1}{x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- \frac{1}{x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 13.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 13.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

خطوة 13.5

بسّط.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| x |) + C$

خطوة 15

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x y - \frac{y^{2}}{2} - \ln (| x |) + C$