حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 e^{- 4 x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 4 e^{- 4 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 4 e^{- 4 x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 4 e^{- 4 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int e^{- 4 x} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = - 4 x$ . إذن $d u = - 4 d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = - 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = 4 \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.7.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$y + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 4 x$ .

$y + C_{1} = - e^{- 4 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - e^{- 4 x} + K$