حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x = 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2}$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x - 1 \cdot 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

خطوة 5.3.2.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

خطوة 5.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

خطوة 5.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

خطوة 5.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{x}$

خطوة 5.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط $- \ln (| x |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

خطوة 6.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $x y + x^{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 7.2

اضرب $x y + x^{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $x$ من $x y + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 7.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 7.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 7.4.2

اقسِم $y + x$ على $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $x^{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 7.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 7.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 7.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$(y + x) d x + x d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x y + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

خطوة 12.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

خطوة 13.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y + x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

خطوة 13.1.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 14.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 16

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$