حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.4.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.5.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.6

بما أن $6 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + 0$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أضف $4 y + 3 x - 2$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2$

خطوة 1.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 4 y - 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x (x + 2 y - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y - 1)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y - 1] + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 y - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \cdot 1$

خطوة 2.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اضرب $x + 2 y - 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y - 1$

خطوة 2.3.8.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 x + 4 y - 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + 2 y - 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 x + 4 y - 2$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x (x + 2 y - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x (x + 2 y - 1)$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x) - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $2 x$ من $3 x$ .

$\frac{x + 4 y - 2 - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 y$ من $4 y$ .

$\frac{x + 2 y - 2 + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.2.5

أضف $- 2$ و $1$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2 y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | x | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$ في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ في $x$ .

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) x d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 y^{2} x + 3 x y x - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

انقُل $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 (x \cdot x) y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 6.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 6.3.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

انقُل $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 (x \cdot x)) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 6.3.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x (x + 2 y - 1)$ في $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) x d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

انقُل $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x \cdot x (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 6.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x^{2} (x + 2 y - 1) d y = 0$

خطوة 6.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

خطوة 6.7.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

خطوة 6.7.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

خطوة 6.7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

خطوة 6.7.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.8

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

خطوة 8.3

بما أن $2 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} \int y d y + \int - x^{2} d y$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{2} d y$

خطوة 8.5

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{2} y + C$

خطوة 8.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{2} y + C$

خطوة 8.7

بسّط.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.3.3

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.4.3

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 11.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $3 x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y$

خطوة 12.1.2

اطرح $2 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x$

خطوة 12.1.3

أضف $2 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$

خطوة 12.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

اطرح $3 x^{2} y$ من $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} + 0 - 2 y^{2} x + 2 x y$

خطوة 12.1.4.2

أضف $2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 x y$

خطوة 12.1.4.3

اطرح $2 y^{2} x$ من $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 0 + 2 x y$

خطوة 12.1.4.4

أضف $- 2 y x + 6 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 2 x y$

خطوة 12.1.4.5

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- 2 y x$ و $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x^{2} + 2 x y$

خطوة 12.1.4.6

أضف $- 2 x y$ و $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

خطوة 12.1.4.7

أضف $6 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $6 x^{2}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

خطوة 13.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ بالصيغة $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + 2 x^{3} + C$