حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = 4 \cos (6 x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 4 \cos (6 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 4 \cos (6 x) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (6 x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (6 x) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 6 x$ . إذن $d u = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 6 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \cos (u) \frac{1}{6} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\cos (u)}{6} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{6} \int \cos (u) d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{6} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (2)}{6} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (\sin (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \sin (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \sin (6 x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{2}{3} \sin (6 x) + K$