حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 y d y = (x^{2} + 1) d x$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.2.3.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

خطوة 1.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

خطوة 1.3.4

بسّط.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

خطوة 1.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$

خطوة 2.2

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x + K}$

خطوة 2.2.2

لكتابة $x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K}$

خطوة 2.2.3

اجمع $x$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K}$

خطوة 2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3}{3} + K}$

خطوة 2.2.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} + x \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}{3} + K}$

خطوة 2.2.5.2

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x (3)}{3} + K}$

خطوة 2.2.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x (3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K}$

خطوة 2.2.6

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 2.2.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

اجمع $K$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

خطوة 2.2.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 2.2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 2.2.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 2.2.8.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 2.2.8.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 2.2.8.3

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 2.2.8.4

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

خطوة 2.2.9

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.2.10

اضرب $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.2.11

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

اضرب $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 2.2.11.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 2.2.11.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 2.2.11.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.2.11.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 2.2.11.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.2.11.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.11.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.2.11.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.2.11.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 2.2.11.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.2.12

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

خطوة 2.2.13

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

خطوة 2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

خطوة 2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

خطوة 2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

خطوة 3

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$